式可用定义计算?于是由定理1.2推出:.由性质1可知,行列式中行与列具有对等的地位,对行成立的性质,对列也成立,反之亦然。以下我们仅讨论行的性质,然后引申到列即可.性质2行列式两行(列)互换,行列式的值变号.以表示第行,表示第列,则表示交换两行,表示交换两列.由性质2即可得到下面的推论推论若行列式中有两行(列)元素对应相等,则的值为零.性质3用数乘以行列式,等于将数乘到的某一行(列)中所有的元素上。证按定义,,则.推论1行列式某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.第行(列)乘以,记为();第行(列)提出公因子,记为(或)。推论2若行列式有一行(列)的元素全为零,则其值为零.性质4若行列式有两行元素对应成比例,则其值为零.下面的性质称为“拆行”:性质5若的某一行(列)的元素都可表为两数之和,则以下等式成立:证按定义,=.性质5把行列式某一行(列)的各元素倍加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变..行列式性质2、3、5涉及到行列式的三种运算:换行(列)、倍乘、倍加,即,,和,,。二、运用性质计算行列式利用行列式的性质可有效地简化行列式的计算.如利用性质把行列式化成上三角行列式,便可直接得到行列式的值。例7 计算.对于元素排列有某些明显规律的行列式,可根据其特点采用一些计算技巧,常用的如建立递推公式和用数学归纳法等.计算行列式.计算行列式例10 设, 讨论适用递推和数归法计算的行列式具有什么特点? , ,证明.证对作运算,把化为下三角形行列式:,对作运算,把化为下三角形行列式:,于是,对的前行作运算,再对后列作运算,就可把化为下三角形行列式故.例11 计算阶行列式§6 行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式定义1在阶行列式中任取一个元素,划去所在的第行、第列,剩下来的阶行列式称为元素的余子式,记作;记称为元素的代数余子式.提问行列式中各项的元素如何取得的?
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