AP=30°,-----------(7分)∴∠AOB=120°,又∵AB=6,∴OA=,点P的路径是.-----------(8分)②当AE=BF时,点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度;-----------(9分)∵等边三角形ABC的边长为6,∴点P的路径的长度为:.所以,点P经过的路径长为或3.-----------(10分)24、解:(1)∵y=﹣x+4与x轴交于点A,∴A(4,0),∵点B的横坐标为1,且直线y=﹣x+4经过点B,∴B(1,3),∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,3),∴,解得:,∴a=﹣1,b=4;-------(3分)(2)如图,作BD⊥x轴于点D,延长MP交x轴于点E,∵B(1,3),A(4,0),∴OD=1,BD=3,OA=4,∴AD=3,∴AD=BD,∵∠BDA=90°,∠BAD=∠ABD=45°,∵MC⊥x轴,∴∠ANC=∠BAD=45°,∴∠PNF=∠ANC=45°,∵PF⊥MC,∴∠FPN=∠PNF=45°,∴NF=PF=t,∵∠DFM=∠ECM=90°,∴PF∥EC,∴∠MPF=∠MEC,∵ME∥OB,∴∠MEC=∠BOD,∴∠MPF=∠BOD,∴tan∠BOD=tan∠MPF,∴==3,∴MF=3PF=3t,∵MN=MF+FN,∴d=3t+t=4t;-------(7分)(3)四边形OMNB的面积有最小值.设OP=m,四边形OMNB的面积为S,先连接ON、AM,再证△OAN≌△ACM(SAS),可知CM=AN=AP,-------(9分)AB=BC=4,S△ABC=×42=,∴CM=AN=AP=4-=OP=m,过M作MF⊥AC,垂足为F,则MF=MC•sin60º=,∴S△CMN==•=,∴S=S△OAC-S△CMN=-()=∴在点P运动的过程中,四边形OMNA的面积有最小值为3.-------(12分)
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