)+5(12﹣x)](0<x≤4)y=﹣2.5x+126由k=﹣2.5<0则y随x增大而减小,即当x=4时y最小=116(元)综上所述,用甲种方法购买4个书包,用乙种方法购买8支笔最省钱.23.(14分)【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.【探究展示】(1)证明:AM=AD+MC;(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.(1)证明:延长AE、BC交于点N,如图1(1),∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.在△ADE和△NCE中,∠DAE=∠CNE∠AED=∠NECDE=CE∴△ADE≌△NCE(AAS).∴AD=NC.∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.(2)AM=DE+BM成立.证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(2)所示.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.在△ABF和△ADE中,∠FAB=∠EADAB=AD∠ABF=∠D=90°∴△ABF≌△ADE(ASA).∴BF=DE,∠F=∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.∴∠F=∠FAM.∴AM=FM.∴AM=FB+BM=DE+BM.(3)①如图2(1),结论AM=AD+MC仍然成立.②如图2(2),结论AM=DE+BM不成立.
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