,就可以得到上面所说球体体积公式,然而事实上结果的比值不是。Р刘徽作出球的两个互相垂直相交的外切圆柱,称他们的公共部分为“牟合方盖”。“牟合方盖”恰好把立方体的内切球包含在内并且同它相切,如果用一个水平面去截它们,就得到一个圆(球的截面),和它的外切正方形(Р“牟合方盖”的截面)。刘徽指出,在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的积之比都等于,因此球体积与它的牟合方盖的体积比都是,遗憾的是,刘徽未能求出牟合方盖的体积。Р南北朝数学家祖恒提出一条“缘幂势既同,则积不容异”的原理,并利这一原理求得“牟合方盖”的体积,从而在刘徽的基础上彻底解决了球体积问题。Р祖恒的做法是:作几何体(如图),在棱长为球半径R的立方体内挖去牟合方盖,做几何图(如图),倒立的直四棱锥(阳马),使其高为,底面时边长为的正方形,这个倒立的直角、四棱锥的体积是棱长为?的正方体的,则其体积是。于是“牟合方盖”的八分之一的体积应是,整个“牟合方盖”体积为。在倒立的直四棱锥高度为处作截面,则“牟合方盖”截面的正方形边长为,于是立方体内的“牟合方盖”外部分的体积为。倒立的直三棱锥在高度处作截面,面积也是。Р 两个几何体在任一高度处的截面积相等,由祖恒原理,它们的体积相同。于是Р 所以,Р其它解法Р阿基米德利用力学原理创造了一种特殊的求积术——平衡法,他的方法是:设球的半径为,作球的大圆面以及圆柱、圆锥的轴截面。其中以为两条母线的圆柱与球外切,是圆柱的两底面圆心,圆锥的母线分别经过圆柱相应母线与球的切点。Р 延长到,在与距离为处分别割出球、圆柱、圆锥的厚度为的三个薄片(可看成近似的圆柱体)。他们的体积分别是 KР球薄片: C DР圆柱薄片: N OР圆锥薄片: A BР LР Р将球薄片与圆锥薄片悬挂在点处,圆柱薄片仍留在原处,以为支点考虑两边的力矩(不妨设想比重为1)Р左力矩=Р右力矩=Р因此,左力矩=右力矩,于是
全文预览
