的极限,它是一个常数,不是变数。(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一。三.典例分析例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点处的导数.解:(1),所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为即(2)因为所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为即(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.解:我们用曲线在、、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线,并在切线上去两点,如,,则它的斜率为:所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4四.课堂练习1.求曲线y=f(x)=x3在点处的切线;2.求曲线在点处的切线.
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