教案5 线性方程组

全部解。Р步骤如下:Р⑴将增广矩阵用初等行变换化为简化阶梯形矩阵;Р⑵判断非齐次线性方程组是否有无穷多解,即Р⑶将简化阶梯形矩阵还原为线性方程组,得到同解方程组;Р ⑷写出其全部解。Р例1 : 解线性方程组Р 解:⑴写出增广矩阵:Р⑵判断解的情况Р∵Р∴原线性方程组有无穷多解。Р⑶还原线性方程组得同解方程Р将简化阶梯矩阵还原为线性方程组:Р得到同解方程为: , 其中为自由未知量Р⑷写出全部解Р可令,故全部解为:Р Р也可令,故全部解为:Р Р学生自练3:讨论为何值时,线性方程组Р 有唯一解?无解?有无穷多解?当有无穷多解时,求出它的全部解。Р解:写出增广矩阵:Р判断:Р⑴当时,,此时方程组有唯一解。Р⑵当时,,,此时方程组无解。Р⑶当时,,此时方程组有无穷多解。Р 继续化简化阶梯形矩阵:Р 还原成对应方程组为: , 其中为自由未知量Р可令,Р故原方程组的全部解为: Р§2.3 齐次线性方程组Р齐次线性方程组Р当线性方程组的常数项均为零时即: Р称为——齐次线性方程组。Р 其矩阵形式为: Р其增广矩阵: Р 即比只多一个元素全为“”的列,故它们的秩一定是相等的,即:Р Р 说明:齐次线性方程组一定有解(零解or非零解)!Р齐次线性方程组非零解Р1、齐次线性方程组有非零解的充要条件Р Р [定理]:系数矩阵的秩小于未知量的个数,即: Р齐次线性方程组非零解求法Р步骤如下:Р将系数矩阵用初等行变换化为简化阶梯形矩阵;Р判断齐次线性方程组是否有非零解,即Р将简化阶梯形矩阵还原为线性方程组,得到同解方程组;Р写出全部非零解。Р例1: 解齐次线性方程组: 。Р解:⑴对系数矩阵施以初等行变换,化为简化阶梯形矩阵Р Р⑵判断解情况Р∵,Р ∴齐次线性方程组有非零解,且含个“自由未知量”。Р⑶还原成方程组形式得到同解方程组Р Р其中为自由未知量,可令Р⑷写出全部非零解Р则齐次方程组全部解为: