黄金分割及其应用

斐波那契数列, 简称F-数列. i在研究小兔问题时提出的.Р现在给出F-数列的通项公式(证明略):Р上式的奇妙在于:Fn的表达式竟然出现了方程x2+x-1=0的一对实数根, 而且无理数在其中出现了三次, 而Fn竟是一个整数!Р从高等数学的角度来看, 递推公式与通项公式存在必然的联系. 我们把递推公式用矩阵写出来就是:Р而矩阵的两个特征值就是:和,这两个数真的出现在Fn的表达式中!我们知道, , , 因此有:Р这就是黄金分割和F-数列在形式上的联系.Р另外, F-数列在分析方面有一个非常优美的结:. 这使得黄金分割与F-数列的联系更加紧密. 因此, 它们在应用上也有很多共同之处. 斐波那契数列和黄金分割法相似, 他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数, 而是由斐波那契数列决定的.Р例2 i法求函数在区间[-1,3]上的极小点, 要求最终区间长不大于原始区间长的0.08.Р解函数在区间[-1,3]上为下单峰函数,且Р用黄金分割法求解:Р取,,Р则Р,得到的新区间为[-1,1.472]. 仍把此区间记为[a, b],并令x2=x1,取,继续迭代,直到满足精度要求,计算过程见表4 Р表4 迭代计算过程Р迭代次数Р Р Р0Р0.528, 1.472Р1.751,2.695Р否Р1Р,0.528Р2.059,1.1751Р否Р2Р0.528,0.888Р1.751,1.901Р否Р3Р0.305,0.528Р1.788,1.751Р否Р4Р0.528,0.665Р1.751,1.777Р否Р5Р0.443,0.528Р1.753,1.751Р否Р6Р0.528,0.58Р1.751,1.757Р是Р7Р经过6次迭代已经满足精度要求,最优解与最优值分别为Рi法求:Р由可知,应取的试点个数。Р第一次迭代:Р最初的两个试点分别为Р, Р第二次迭代:Р令取Р则Р第三次迭代:Р令取Р则