因四个面对应的三角形的三边分别对应相等,即它们为全等的三角形,所以②正确;对于③,当四面体ABCD为正四面体时,夹角之和等于180°,所以③错误;对于④,因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行,且都经过长方体的中心,所以④正确;又命题⑤显然成立,故填Р②④⑤.Р14.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________.Р答案Р解析Р折成的正四面体,如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GK∥DH,故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角.Р设这个正四面体的棱长为2,Р在△PGK中,PG=,GK=,РPK==,Р故cos∠PGK=Р==,Р即异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.Р三、解答题Р15.(2018·普宁期末)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.Р(1)在A1C上是否存在一点Q,使BC1∥DQ?Р(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求异面直线AB1与CD所成角的大小.Р解(1)连接AC1交A1C于Q,连接DQ,Р∴DQ为△ABC1的中位线,DQ∥BC1,Р∴A1C上存在一点Q,使BC1∥DQ,Q为A1C的中点.Р(2)连接AB1,取BB1中点M,连接DM、CM,则DM是△ABB1的中位线,∴DM∥AB1,Р∴∠CDM就是所求异面直线所成角(或补角),Р∵AA1=AC=CB=2,AB=2,Р∴CM=,DM=,CD=,Р∴DM2+CD2=CM2,满足勾股定理,∴∠CDM=90°,Р故异面直线AB1与CD所成角为90°.Р16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°.
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