”切共焦椭圆(未显示)Р即光路以四条光线为一个循环节。“4-回路”分为两类,一种外切于共焦椭圆,一种切于共焦双曲线。Р当“4-回路”切于共焦椭圆,“4-回路”与原椭圆的接点恰好也是原椭圆与它的某个外切矩形的切点。原椭圆上的每一点都对应了一种与共焦椭圆相切的“4-回路”,而每一种“4-回路”都对应了四个点。Р当“4-回路”切于共焦双曲线,“4-回路”的四个顶点构成一个长为共焦双曲线实轴、宽为共焦双曲线虚轴的矩形。和前一种情况不同,对于一个确定的原椭圆,至多存在一种这样的“4-回路”。Р事实上,回路的种类比我们所列举的多得多,也复杂得多。不过在实际生活中,遇到的情况更加贴合文献[2],即从一点光源成一定角度地发射一束光,而不是理想化的几何模型。也就是说,在大部分时候,由于实际条件的限制,光线仍会照亮整个环状区域(共焦椭圆情况)或块状区域(共焦双曲线情况),而不仅是在某个回路上循环。Р5.双曲线和抛物线的推广Р双曲线Р我们发现和椭圆类似,双曲线在非焦点处也有“焦散曲线”。在这里的讨论中需要注意Р,这里的“光线”已经不是实际存在的了,笔者主要对光线所在的直线进行了讨论。双曲线的推广与椭圆出奇地相似:Р1.若两焦点在初始直线同侧,则每条直线均与一共焦椭圆相切。Р图5.2 双曲线的共焦双曲线Р图5.1 双曲线的共焦椭圆Р2.若两焦点在初始直线异侧,则每条直线均与一共焦双曲线相切。Р抛物线Р与双曲线和椭圆略有区别,抛物线的焦散曲线既不是椭圆,也不是双曲线,而是共焦抛物线。Р1.若焦点与开口在初始直线同侧,则共焦抛物线与原抛物线开口相同。Р图5.4 抛物线的反向抛物线Р图5.3 抛物线的同向抛物线Р2.若焦点与开口在初始直线异侧,则共焦抛物线与原抛物线开口相反。Р6.参考文献Р[1]刘培杰,田廷彦.斯坦因豪斯问题:从1道25省市自治区中学数学竞赛试题谈起.哈尔滨工业大学出版社,2012.7
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