阵的秩的定理问题。本文将通过对分块矩阵性质的研究分析,比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用,为很多线性代数中问题的处理带来很大的方便。第2章分块矩阵的定义及相关运算2.1分块矩阵的定义设是一个矩阵,如果将用条横线和条竖线分成个小矩阵,每一个小矩阵称为的一个子块或子矩阵,以这些子块作为元素构成的行列的矩阵称为矩阵的分块矩阵。亦称是一个块矩阵。例如,矩阵=中,表示2级单位矩阵,而=,O=这就是我们所说的矩阵的分块2.2分块矩阵的运算2.2.1加法与数量乘法运算设都是阶矩阵,如果其分块方式一样,,其中,都是矩阵,其中,。则有,。2.2.2乘法运算设将分块成,,其中每个都是小矩阵,每个是小矩阵。于是有其中()。应该注意,矩阵A的列的分法必须与矩阵B的行的分法一致。2.2.3转置运算分块矩阵的转置不仅要行列互换,各个子矩阵也要进行转置。如,其中是小矩阵,则。2.3分块矩阵的初等变换2.3.1定义受线性方程组的消元法启发得出矩阵的初等行变换(行对换变换、行倍乘变换、行倍加变换),而将分块矩阵与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段。如同一般矩阵,分块矩阵的初等变换有三种:Ⅰ.交换分块矩阵的两个块行(列);Ⅱ.用一个非奇异矩阵K左乘(右乘)分块矩阵的某一个块行(列);Ⅲ.将分块矩阵的某一个块行(列)的K(矩阵)倍加到分块矩阵的另一个块行(列)上。2.3.2运算将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段。现将某个单位矩阵分成,对其作相应的初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵:对换阵;倍乘阵,;倍加阵,。定理1:对分块矩阵作分块初等行变换,相当于用相应的分块初等矩阵左(右)乘该矩阵。证明:记的分块形式与上述分块单位矩阵的分块形式一样,则由分块矩阵的乘法得=;=;=。例1.设方阵其中(i=1,...,9)都是矩阵,设是任意阶方阵,则矩阵对于有。证明:设是级单位矩阵,则
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