保证充分靠近,即分段线性插值函数收敛于.Р2.三次Hermite插值是在节点上除已知函数值外还给出导数值,这样就有,它满足条件:Р(1);Р(2)Р(3)在每个小区间上是三次多项式.则Р.Р上式对于成立.Р误差估计为:,其中Р分段三次Hermite值比分段线性插值效果明显改善,但是这种插值要求给出节点上的导数值,所要提供的信息太多,其光滑度也不高(只有一阶导数连续),所以要改进这种插值和克服其缺点下面提出三次样条插值.Р2.5三次样条插值Р三次样条插值法是一种分段插值法,其基本思想是将插值区间等分,再在每个区间上求插值函数.设在区间上取个节点,给定这些点的函数值.如果存在分段函数:Р且函数满足条件:(1)在每个区间上是不高于3次多项式;(2)在区间上连续;(3)称为三次样条插值函数.由于插值节点处具有二阶导数连续,所以三次样条插值法具有更好的光滑性. Р从上面的一一介绍中我们可以看出: Lagrange 插值有着形式上对称,在理论上十分重要的有点,但是计算复杂.因为每增加一个节点,对前面的插值基函数值就作废了.而Newton插值每增加一个节点,插值多项式只增加一项,因此便于递推运算,所以具有灵活增加节点的优点.但是Newton插值仅对节点处的函数作了约束,如果插值条件再增加节点处对导函数的限制的话,就要用到Hermite插值多项式.但一般很少用这种高次插值法,因为其不稳定性的缘故,更多使用分段插值来实现.虽然插值曲线的各个分段是衔接的,但在节点处不能保证整个曲线的光滑性.而三次样条不但与被插值函数很接近,而且导数值也很接近,这样逼近效果是其他插值法所难以达到的.从Lagrange 插值到三次样条插值法,层层递进来解决问题,使的插值函数与被插值函数越来越逼近.Р下面就上面的五种插值法来给出他们各自适合解决哪些类型的题目的例子,通过例子更能清楚的理解和认识五种插值法的各自特征.
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