. 设, 要使f(x)在(-¥, +¥)内连续, 应怎样选择数a?Р 解要使函数连续, 必须使函数在x=0处连续. Р 因为Рf(0)=a, , , Р所以当a=0时, f(x)在x=0处连续. 因此选取a=0时, f(x)在(-¥, +¥)内连续. Р 10. 设, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形. Р 解因为函数f(x)在x=1处无定义, 所以x=1是函数的一个间断点. Р 因为(提示), Р (提示), Р所以x=1是函数的第二类间断点. Р 又因为, , Р所以x=0也是函数的间断点, 且为第一类间断点. Р 11. 证明. Р 证明因为, 且Р , , Р所以. Р 12. 证明方程sin x+x+1=0在开区间内至少有一个根. Р证明设f(x)=sin x+x+1, 则函数f(x)在上连续. Р 因为, , , Р所以由零点定理, 在区间内至少存在一点x, 使f(x)=0. Р这说明方程sin x+x+1=0在开区间内至少有一个根. Р 13. 如果存在直线L: y=kx+b, 使得当x®¥(或x®+¥, x®-¥)时, 曲线y=f(x)上的动点M(x, y)到直线L的距离d(M, L)®0, 则称L为曲线y=f(x)的渐近线. 当直线L的斜率k¹0时, 称L为斜渐近线. Р (1)证明: 直线L: y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充分必要条件是Р , . Р (2)求曲线的斜渐近线. Р 证明(1) 仅就x®¥的情况进行证明.Р 按渐近线的定义, y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线的充要条件是Р . Р 必要性: 设y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线, 则, Р于是有ÞÞ, Р同时有Þ. Р 充分性: 如果, , 则Р , Р因此y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线. Р (2)因为, Р , Р所以曲线的斜渐近线为y=2x+1.
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