而得到.由于的任意性,可知轨线对应着无穷多条积分曲线.Р为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解Р Р其中,为任意常数.于是, 方程组的轨线就是圆族(图1-2).Р这一性质也可以通过下述讨论得到,Р若令,Р解方程组(1-1)可得Р Р从而可见相轨线为圆周.Р特别,是方程的解,它的轨线是原点.Р (图1-1) (图1-2)Р1.1.3基本性质Р 性质1 积分曲线的平移不变性Р设平面自治系统(1-1)的一个解,对,函数Р Р也是(1-1)的解.Р性质2 轨线的唯一性Р如果满足解的存在唯一性条件,则过相平面上区域的任一点,(1-1)存在唯一一条轨线.Р性质 1和性质2说明,相平面上每条轨线都是沿轴可平移重合的一族积分曲线的投影,而且只是这族积分曲线的投影.Р此外,由性质1同样还可知道,平面自治系统(1-1)的解的一个平移仍是(1-1)的解,并且它们满足同样的初值条件,从而由解的唯一性知Р Р Р因此,在(1-1)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻的解,并简记为Р , Р对于性质1与性质2的具体证明可参考文献[2].Р2 平面线性自制系统及其奇点分类Р 对于二维自治系统(1-1),假设在上有连续偏导数,且满足解的唯一性条件.可将方程组(1-1)改写为Р () (2-1)Р或Р () (2-2)Р由于或与同样有连续偏导数,因而满足解的存在唯一性定理的条件.方程(2-1)或(2-2)在平面的积分曲线可看成是方程组(1-1)在相平面上的轨线.因此,在相平面上,方程组(1-1)的轨线不能相交.Р 同时满足的点是微分方程组(1-1)的奇点,是方程组的解.可从通过坐标平移将奇点平移到原点,此时,.Р2.1 平面线性系统的奇点类型Р下面我考虑驻定微分方程组是线性的情形下,其轨线在相平面上的性态,并根据奇点领域内轨线分布的不同性态来区分奇点的不同类型.如果均是的线性函数,称为线性系统,即
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