次。Р解:由则Р对于级数,两边从积到,得Р Р两边再从积到,得Р Р 上式左边正是原级数。Р所以级数和Р例 7 设,求.Р分析:首先我们将积分算出来,然后又注意到是中的值,由我们想到先求导后积分及可以求出。Р解:积分:.Р因此Р设Р求导后再求和,得Р Р积分,得Р Р令,则Р .Р 故Р4 转化数列极限求和法Р 数列的敛散性可由其子列来研究,并且有一个重要的结论:Р引理 1:数列收敛的充分必要条件是的任一子列都收敛,且有相同的极限。Р特别地,由引理1,可得Р引理2:数列收敛于的充分必要条件是{的两个子列和都收敛于同一极限,此时, 称两个子列和为互补子序列。Р其实,我们可以把引理2推广到一般的情况:Р定理1: 数列收敛于的充要条件是的(是某个正整数)个子列,,…都收敛于同一极限.Р证明:当时,结论显然成立;下面证明当p = 3 时结论成立,其他情形类似可证由引理1可知必要性显然,只要证明“充分性”由条件,Р由收敛于,则对,,当时,有Р由收敛于,则对上述的,,当时,有Р由收敛于,则对上述的,,当时,有Р取,则时,有且且Р当时,或或Р所以故证数列收敛于。Р定理2:若级数的通项(当时),则收敛于的充分必要条件是部分和数列的子数列收敛于。此时。Р证明:必要性:由引理可知。Р 充分性:因为收敛于,由收敛的“”定义可得:Р对,,当时,有,Р又因为,由收敛的“”定义可得:Р则对上述的,,当时,有,则Р当,考察Р因此,由收敛的“”的定义得:收敛于,再根据引理,可知收敛于。Р定理3:若级数的通项(当时),则收敛于的充分必要条件是部分和数列的的一个子列(是某个正整数,收敛于。Р证明:当时显然结论成立,下面我们就来证明时结论也成立,其他的情形的证明都类似。Р必要性:由引理可知。Р充分性:收敛于,由收敛的“”定义可得:则对,,当时,有,又因为,由收敛的“”定义可得:则对上述的,,当时,有,则,Р考察
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