题Р 1、试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型,以说明方桌能否在地面上放稳的问题。Р ( 提示:要求按照五步建模法进行建模工作,本题至少应给出前四个步骤。)Р2、一个星级旅馆有150个客房,经过一段时间的经营实践,旅馆经理得到一些数据:若每间客房定价为160元,住房率为55%;每间客房定价为140元,住房率为65%;每间客房定价为120元,住房率为75%;每间客房定价为100元,住房率为85%.欲使每天收入最高,每间客房定价应为多少?Р注:本题要求按照五步建模法给出建模全过程.Р解:(一)问题分析Р易于看出,定价每降低20元,住房率便增加10%,呈线性增长趋势;Р160元的定价是否为最高价应给予确定;Р是否所有客房定价相同需要确定. Р模型假设Р在无其他信息时,每间客房的最高定价均为160元;Р所有客房定价相同. Р(三)模型建立Р根据假设1.,如果设代表旅馆一天的总收入,而表示与160元相比降低的房价,则可得每降低1钱元的房价,住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到Р (1)Р注意到又得到于是得到所求的数学模型为:Р , Р(四)模型求解Р这是一个二次函数的极值问题,利用导数方法易于得到为唯一驻点,问题又确实存在最大值,故(元)即为价格降低幅度,也即160-25=135(元)应为最大收入所对应的房价. Р(五)模型分析Р1. 将房价定在135元时,相应的住房率为最大收入为(元).表面上住房率没有达到最高,但是总收入达到最大,这自然是住房率与价格相互制约造成.Р2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较(从略)和检验,知我们的结果是正确的.Р3. 为了便于管理,将价格定在140元/(天.间)也无妨,因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.Р4. 假如定价是180元,住房率应为45%,其相应的收入只有12150元,由此可知,我们的假设1.是正确的.
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