Р 展开得Р右端==左端Р 将行列式Р 的行、列互换,得到一个行列式Р 这个行列式称为D转置,记作或.因此,性质1说明:行列式Р 的转置与原行列式相等.Р从性质1可知:行列式中有关行的性质对于列也同样成立,反之亦然.Р性质2(提公因式性) Р=k Р 这就是说,行列式中某一行的公因子可以提出来,或者说,用一个数来乘行列式的某一行(即用此数乘这一行的每一个元素)就等于这个数乘此行列式。Р证明:上式左端=Р =Р =右端.Р关于列也有类似的性质,即Р=k.Р这可以由性质1及性质2给以证明:Р=Р =k=kР性质3(可加性)Р =+Р这就是说,如果行列式中某一行(如第p行)是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,这两个行列式分别以这两组数为这一行(第p行)的元素,而除去这一行以外,这两个行列式的其他各行与原来行列式的对应各行都相同的。Р 证明:Р左端=Р =Р +Р =右端Р这一性质显然可以推广到某一行为多个数的和的情形.Р性质4(交错性) 互换行列式中两行的位置,行列式反号,即Р =-Р证明:由定义,Р左端=Р现在在右端的行列式中仍然是不同行不同列的.所以它们的乘积Р也是右端行列式的一个项.但是在右端位于第q行第列;在右端位于第p行第列.所以这个项的因子在这种顺序下它们的行标与列标所成的排列分别是Р及Р排列是从自然顺序中将p,q对换而得的,所以这是一个奇排列.所以这一项作为右端行列式的展开式中的一项,前面的符号应是Р=Р从而右端=左端.Р性质5(比例性) 如果行列式中有两行成比例,那么行列式等于零,即Р 证明:首先证明一个特殊情形,即k=1的情形:Р 此时,根据性质4,把第p,q两行对换,得Р =-Р所以 2=0Р即原行列式=0Р根据这个特殊情形,由性质2即可得到性质5,即Р===0Р性质6(初等变换性)行列式的某一行加上另一行的k倍,行列式不变,即Р=Р证明:右端=
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