定锷方程,当热能是常数或线性变化时,可求得薛定锷方程的精确解,对势能任意变Р化的量子阱,只能通过数值方法求解薛定锷方程。虽然,变分法能够粗略求出较低能级的Р能量本征值,然而这种方法不能求出任意量子阱(包括多量子阱和超品格)结构本征值Р和本征函数的精确值,而这类结构正是目前广泛采用的结构。Miyoshl-51等人提出了计算Р量子阱的有限元方法,但是,Miyoshj等人的方法从一个泛函出友,这样很难推广到发散或Р非线性系统。Р 我们从有限元伽辽金(Galer kin)方法出发,提出了计算势能任意变化量子阱结构本征Р值的有限元计算方法,在这个方法中,由子半无限势垒区域势能为常值,可以求得其解析Р解,有限元仅用在势能任意变化的量子阱区域内,这种混合使得数值计算很成功,其正确Р性通过计算几例初等量子力学本征值问题得到验证。由于该方法从伽辽金方法(加权余数Р法)出发,因而具有普适性,可以应用到几乎所有的数学物理实际问题中去。Р理论计算Р 考虑如图1所示势能任意变化量子阱结构,由有效质量近似,粒子(电子或空穴)在量Р子阱中的波函数V满足一维定态薛定锷方程Р (1)Р其中h是约化普朗克(Plank)常数,m’(z)是粒子在z处的有效质量,U(z)为势能,E是粒Р子的能量。为了减少参量的数目,坐标z和能量E分别归一化为:Р (2)Р其中是宽度为d的一维无限势阱基态的能量本征值,m是粒子在z=0处的有效质量,一维薛定谔方程约化为:Р (3)Р将区间划分为许多如图二的线元素,在每一个有限的元素中波函数由几点K,(K=1.2)处的波函数及其导数确定如下:Р (4)Р (5)Р在这里T,{}和分别表示转置,列矢量和行矢量,e表示组成的有限元为形状的矢量Р Р由有限的迦辽金方法我们可以得到一下积分方程Р (6)Р部分积分可转化为Р Р (7)Р 将(4)代入(7)对于每一个元素可得到(8)Р其中(9)
全文预览
