,可见, 都是完全平方数。Р 设, ,因为, 都是完全平方数,所以Р都是正整数,而且有, 。Р假如,则, , 就有公因子,与矛盾,所以必有。Р假如都是奇数或都是偶数,则, 显然都是偶数,与矛盾,所以必定是一奇一偶。Р定理正整数能表示成两个正整数平方和的充分必要条件是要满足下列两条:Р(1) 的素因子分解式中,所有形为的素因子的冪指数都是偶数。Р(2)如果的素因子分解式中,不含有形为的素因子,则必有,其中是正整数。Р证先证明充分性。Р 如果中不含有形为的素因子,则,显然这时可以表示成两个正整数的平方和。Р 如果中含有形为的素因子,再加上已知中形为的素因子的幂指数都是偶数,只要仿照第1楼帖子中定理的推导过程,就可证明这时能表示成两个正整数的平方和。Р 再证明必要性。Р 设已知能表示成两个正整数的平方和,有。Р由第1楼帖子中定理可知,这时中所有形为的素因子的冪指数都是偶数。所以只要证明“如果中不含有形为的素因子,则必有”就可以了。Р因为中不含有形为的素因子,而所有形为的素因子的冪指数都是偶数,所以, 只有两种可能:或者有,或者有。Р下面用反证法证明:Р当中不含有形为的素因子时,不可能有。Р 假设有,其中都是正整数。Р设,将都除以,则有, 。所以,下面只要考虑的情形就可以了。Р 在满足, 都是正整数, 的解中,总可以找到最小的一组解。显然Р ,所以必有。Р 因为, 都是正整数, ,所以根据上面的引理,可知必有正整数, ,而且一奇一偶,使得。Р 因为一奇一偶,所以是奇数,不含有因子2 。Р因为中不含形为的素因子,所以中也不含形为的素因子。Р又因为可以表示为两个正整数的平方和,由第1楼帖子中定理可知,这时, 中形为的素因子的冪指数都是偶数。Р由此可见, 是一个完全平方数,所以必有正整数,使得。Р由于,所以,这就与“在满足, 的解中, 最小”发生矛盾。Р因此,假设不能成立,这时只可能有。
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