列 a n中,a 1 =1,S n 是数列 a n 的前 n项和,对任意的 n∈ N* ,有 2S n =2pa n 2 +pa n﹣p(p∈R) (1 )求常数 p 的值; (2 )求数列 a n 的通项公式; (3 )记,求数列 b n 的前 n 项和 T n. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析:(1) 根据 a 1 =1, 对任意的 n∈ N*,有 2S n =2pa n 2 +pa n﹣p,令 n=1 , 解方程即可求得结果; (2)由 2S n =2a n 2 +a n﹣1,,知 2S n﹣1 =2a n﹣1 2 +a n﹣1﹣1,(n≥2), 所以(a n﹣a n﹣1﹣1)(a n +a n ﹣1) =0 ,由此能求出数列{a n} 的通项公式. (3 )根据求出数列{b n} 的通项公式,利用错位相减法即可求得结果. 解答:解:(1)∵a 1 =1 ,对任意的 n∈ N* ,有 2S n =2pa n 2 +pa n﹣p ∴ 2a 1 =2pa 1 2 +pa 1﹣p ,即 2=2p+p ﹣p ,解得 p=1 ; (2) 2S n =2a n 2 +a n﹣1,① 2S n﹣1 =2a n﹣1 2 +a n﹣1﹣1,(n≥2),②①﹣②即得( a n﹣a n﹣1﹣)(a n +a n﹣1) =0, 因为 a n +a n﹣1≠0 ,所以 a n﹣a n﹣1﹣=0, ∴(3) 2S n =2a n 2 +a n﹣ 1=2 ×, ∴S n=, ∴=n?2 nT n =1×2 1 +2×2 2+…+n?2 n③又 2T n =1×2 2 +2×2 3+…+(n﹣1)?2 n +n2 n+1④④﹣③T n=﹣1×2 1 ﹣( 2 2 +2 3+…+2 n) +n2 n+1=(n﹣1)2 n+1 +2 ∴T n=(n﹣1)2 n+1 +2
全文预览
