数》及专著《分形:形状、机遇和维数》中,阐明了他的分形(fractal)思想。后来他进一步将分形定义为其组成部分和整体以某种方式相似的客体。这类客体极其破碎而复杂,不能用传统的欧几里德几何来描述,但这些客体却都是具有自相似或自仿射性的体系,如弯弯曲曲的海岸线,起伏不平的山脉,粗糙不堪的断面,变幻无常的浮云,九曲回肠的河流等等。这类客体不具备特征尺度,用不同倍数的放大镜去观察它们,其相貌是相似的,并且这个性质不随观察位置的变化而变化。分形理论就是专门研究分形的几何特征、数量表征及其规律和应用的科学。分形市场假说认为,证券的收益率是分形分布的。分形分布具有自相似性、厚尾性、不连续性、长期记忆性。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性或局域结构与整体相似。不连续性表明缺乏平滑且不可微分。长记忆性表现为波动的时间序列在时间上具有自相关性。股票时间序列受不同趋势的影响,这些趋势是出一些外部因素造成的。强趋势会影响序列长相关性检测的正确性。因此,研究不同的趋势对时间序列相关性的影响有重要意义。通常应用R/S分析方法、小波变换极大模方法和除趋势波动分析方法(简称DFA方法)来分析相关性。由Peng等人提出的DFA方法已经成为确定和检测时间序列是否具有长相关性的一种常用方法。同时,DFA方法已被广泛应用到很多领域,如DNA序列,心率系统,长期天气数据等。分形理论应用在时间序列研究中,就发生着由整数维时间序列向分数维时间序列的扩展。在有效市场假设中,资产价格遵循布朗运动,价格序列具有单位根,为一阶单整序列。因此,有效市场中的价格序列为整数维时间序列,该理论采用的是一种线性的范式来拟合市场[7]。经济学家们在大量研究中发现市场收益率并不服从正态分布,而呈现出厚尾的特征,这说明金融市场是一个非线性系统,有一定的随机性,又有一定的规律性。
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