则无盖圆柱形容器表面积为 r Vr rhrS 2ππ2π 22????,令 0 2π2 2????r VrS ,得rh Vr??,π 3, 由实际问题可知,当底半径 3π Vr?与高rh?时可使用料最省。 2-2 欲做一个底为正方形,容积为 32 立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?( 0707 考题) 解: 设底边的边长为 x ,高为 h ,用材料为 y ,由已知 32 2??Vhx ,2x Vh?, 表面积 x Vx xh xy 44 22????, 令0 42 2????x Vxy ,得64 2 3??Vx , 此时,4?x 2x Vh?=2 由实际问题可知, 4?x 是函数的极小值点,所以当 4?x ,2?h 时用料最省。欲做一个底为正方形,容积为 62.5 立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省? 解: 本题的解法与 2-2 同,只需把 V=62.5 代入即可。类型 3 求求曲线 kxy? 2 上的点,使其到点)0,(aA 的距离最短. 曲线 kxy? 2 上的点到点)0,(aA 的距离平方为 kxaxyaxL?????? 222)()(0)(2?????kaxL ,kax??22 3-1 在抛物线 xy4 2?上求一点,使其与 x 轴上的点)0,3(A 的距离最短. 解:设所求点 P(x,y ),则满足 xy4 2?,点 P 到点 A 的距离之平方为 xxyxL4)3()3( 222??????令04)3(2?????xL ,解得 1?x 是唯一驻点,易知 1?x 是函数的极小值点, 当1?x 时,2?y 或2??y ,所以满足条件的有两个点( 1,2 )和( 1 ,- 2) 3-2 求曲线 xy2 2?上的点,使其到点)0,2(A 的距离最短. 解:曲线 xy2 2?上的点到点 A(2,0) 的距离之平方为 xxyxL2)2()2( 222??????
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