所以∠ A=∠ C=180 2 ABC ???=45 °, 所以∠ A=∠ ABM ,所以 AM=BM , 因为 BD=CE , AB=BC , 所以 AB-BD=BC-CE ,即 AD=BE , 在△ ADM 和△ BEM 中, , 45 , , AD BE A EBM AM BM ???? ????????所以△ ADM ≌△ BEM ( SAS ), 所以 DM=EM ,所以△ DEM 是等腰三角形. 五、 1 .证明:延长 FE到G ,使 EG=EF ,连接 CG, 在△ DEF 和△ CEG 中, ED=EC ,∠ DEF= ∠ CEG , FE=EG , 所以△ DEF ≌△ CEG ,所以 DF=GC ,∠ DFE= ∠G, 因为 DF∥ AB ,所以∠ DFE= ∠ BAE , 因为 DF=AC ,所以 GC=AC , 所以∠ G=∠ CAE , 所以∠ BAE= ∠ CAE ,即 AE 平分∠ BAC . 2 .解:(1 )因为△ ABC 为等边三角形, 所以∠ A=∠ B=∠ C=60 °, AB=BC=CA=2 . 在△ BEP 中,因为 PE⊥ BE,∠ B=60 °, 所以∠ BPE=30 °, 而 BP=x ,所以 BE= 12 x, EC=2- 12 x, 在△ CFE 中,因为∠ C=60 °, EF⊥ CF, 所以∠ FEC=30 ° ,所以 FC=1- 14 x, 同理在△ FAQ 中,可得 AQ= 12 +18 x, 而 AQ=y ,所以 y=12 +18 x( 0<x ≤2). (2 )当点 P 与点 Q 重合时,有 AQ+BP=AB=2 , 所以 x+y=2 ,所以 2, 1 1 , 2 8 x y y x ? ????? ???解得 x=43 . 所以当 BP 的长为 43 时,点 P 与点 Q 重合.
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