令(4)对于任意满足下面问题(5)初值问题(5)中齐次方程的通解为,而非齐次方程的一个特解为.因此,(5)的通解为.(6)由初始条件可确定出.最后将所得到的代入到(4)中便得(1)的解.情形2共振问题,即存在某个使得.不妨假设.此时,在情形1中求解所得到的不变.当时,要求解以下问题(7)(7)中齐次方程通解为.为求得非齐次方程的一个特解,要将(7)中方程的自由項换为,而求以下问题的一个特解令并代入到上面非齐次方程中可得,故有,取其虚部便得(7)中方程的一个特解为.结合以上所得结果便可得到(7)中方程的通解为,由初始条件确定出,由此可得.将代入到(4)中便得在共振条件下(1)的解为可以证明:是有界的.而在的表达式中取,则中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大,最终要导致弦线在某一时刻断裂,这种现象在物理上称为共振.注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率,从而在第一波函数分量上发生共振.一般地讲,当周期外力的频率很接近或等于系统的某个固有频率时,系统都会有共振现象发生,即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大,导致弦线在某一时刻断裂。9..解:上述问题等价于下下述定解问题:其中,是弦处于平衡位置时弦中的张力,是弦的线密度。则:所以上述定解问题的解为:10.解:设波函数为,相应的定解问题是,,系数=.所以.11.解:设,则有:代入到方程中,整理得到:不妨取,此时有。12.解:设,代入泛定方程引入分离常数得到两个常微分方程:进一步考虑边界条件得到:从而得到特征值问题:。求解该特征值问题可得,当时,没有非平凡解;当时,方程有四个根:.此时的通解为:由边界条件易得:,且仅当时,有非平凡解:。当时,方程有四个根:.此时的通解为:.分析可知此时没有非平凡解。从而当,有非零解。此时。由初始条件可得:,从而可得到满足初始条件得系数。所以原定解问题的解为:.
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