认识Р还很少。关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现,大家可以参考《古今数学思想》二三册。Р8)多项式逼近连续函数。泰勒级数提供了用简单函数研究复杂函数的方法,不过它对函数Р本身要求也高(要求无穷次可导),这就限制了它的应用范围。后来人们想对于连续函数,Р是否存在多项式,使得该函数与多项式之差可以任意小,即用多项式逼近连续函数。答案Р是存在的,魏尔斯特拉斯最早给出了存在性的证明,后来斯通又将其推广为更一般的形式。Р值得一提的是伯恩斯坦的证明,他不但证明了逼近多项式的存在性,而且给出了多项式--Р---伯恩斯坦多项式的构造方法。以上证明均可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第三册Р中找到。Р9)格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的统一证明。这三个公式是微积分中我最喜欢的公Р式之一,形式优美,含义深刻。若将三者统一起来,就得引入外微分。外微分可以说数学分Р析中最具有现代特色的内容之一了。其本身既有抽象性,又有统一性,而且可以向高维情况,Р流形,微分几何,微分拓扑等进军。陈省身老先生尤其喜欢用外微分。外微分一般是数学系Р的必修课程。国外比较不错的书推荐《流形上的微积分高等微积分中一些经典定理的现代化Р处理》(M.斯皮瓦克写的)。不过该书写的比较简洁、难度很大,最好大二大三去看。Р10)不动点定理。布劳威尔的这个不动点定理可以说是名气大的下人,有个老外写了本科普书Р叫《20世纪数学的五大指导理论》,里面就有不动点定理。而且也有专门的书,好象叫《不动Р点理论》,一般需要涉及拓扑理论。据说不动点的应用范围远超出数学领域,有兴趣的可以看Р看《20世纪数学的五大指导理论》这本书。不动点定理经过适当技术处理是可以放到微积分中Р的,就二、三维情况的可以看看张老师的《数学分析新讲》第三册。对于一般的n维情况,米尔Р诺曾给出一个比较初等的解析证明,该证明可以在齐民友的《重温微积分》(很不错的书)中找Р到。
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