子倍时,分解唯一.标准分解定理每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是非零常数,p1,…,pt,是互不相同的首一既约多项式,n1,…,nt是正整数.进一步,a,p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定.重因式f无重因式当且仅当f与其导式互素.5代数学基本定理:下列陈述等价,复数域上次数≥1的多项式总有根复数域上的n次多项式恰有n个根复数域上的既约多项式恰为一次式复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积.实数域上的次数>1的既约多项式只有无实根的二次式实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积6实数域上的标准分解定理在实数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全不互不相同的根,p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.复数域上的标准分解定理在复数域上,每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全部互不相同的根,n1,…,nt分别是这些根的重数.7多项式作为函数:两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)它们在k+1个点的函数值相等,这里k是它们次数的最大者.设f(x)=anxn+...+a1x+a0,若f(x)在n+1个点的函数值为0,则f(x)恒等于0.8Eisenstein判别法:设是整系数多项式,若有素数p使得则f(x)是有理数域上的既约多项式.有理根:有理根的分母整除首项系数,分子整除常数项9重要结论命题1.8.1若多项式的值全为0,则该多项式必为0.命题1.8.2每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和,fn≠0,且其中fi是0或i次齐次多项式,0≤i≤n,fi称为f的i次齐次分量.基本概念:次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式多元多项式对称多项式基本定理每个对称多项式,都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式.10
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