机械工业出版社-复变函数与积分变换-第2章-解析函数

第二章解析函数Р1. 复变函数的导数定义Р§2.1 解析函数的概念РGOР2. 解析函数的概念Р一. 复变函数的导数Р(1)导数定义Р定义设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D,Р如果极限存在,则称函数Рf (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数,Р记作Р如果w=f(z)在区域D内处处可导,则称?f (z)在区域 D内可导。Р(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。Р(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)Р例1Р(2)求导公式与法则Р①常数的导数 c=(a+ib)=0.?②(zn)=nzn-1 (n是自然数).Р证明对于复平面上任意一点z0,有Р----实函数中求导法则的推广Р③设函数f (z),g (z) 均可导,则? [f (z)±g (z)]=f(z)±g(z),? [f (z)g(z)]= f(z)g(z) + f (z)g(z)Р④复合函数的导数( f [g(z)])=f(w)g(z),? 其中w=g(z)。Р⑤反函数的导数,其中: w=f (z)?与z=(w)互为单值的反函数,且(w)0。Р思考题Р例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导?Р例2Р解Р解Р例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。Р证明Р(1) 复变函数在一点处可导,要比实函数? 在一点处可导要求高得多,也复杂得? 多,这是因为Δz→0是在平面区域上? 以任意方式趋于零的原故。Р(2) 在高等数学中要举出一个处处连续,? 但处处不可导的例题是很困难的, ? 但在复变函数中,却轻而易举。