给定点P到Q将沿着两点之间的光程为极值的路线传播,即? ? (1.1-1)??式中: n(x,y,z)为折射率。费马原理与经典力学中的哈密顿变分原理相似。按照经典力学中的哈密顿原理,质点在时间t1和t2之间的轨迹满足: ? ? (1.1-2)Р式中: L为拉格朗日函数,它是广义坐标和广义速度的函数,而积分是在时间上进行的。与之相比,费马原理是在空间变量上进行积分的。注意到无限小弧长ds可写为? ? (1.1-3)??式中: “·”表示对z的微商。将s换成z,式(1.1-1)可改写为? ? (1.1-4)Р由式(1.1-4)与式(1.1-2),可以给出相应的光学拉格朗日函数定义:? ?? (1.1-5)?此处,z可假定起着与拉格朗日力学中的时间相同的作用。与经典力学中的情况类似,我们同样能够引入哈密顿量。根据经典力学中广义动量p和q的定义:? ? (1.1-6)Р将式(1.1-5)中的L值代入得? ? (1.1-7)Р这里,p和q称为光线的方向余弦。应用光学拉格朗日函数?L和光线的方向余弦p、q,可以定义光学哈密顿函数H:? ? (1.1-8)??进一步可以将光学哈密顿函数写为? ? (1.1-9)Р例如,经典动量在量子力学中用相应的动量算符代替,对于x分量,动量算符为? ? (1.1-10)??式中: h是普朗克常数。类似地,在从几何光学过渡到波动光学中,利用式(1.1-7)同样可写出相应的动量算符为? ? (1.1-11)Р此外,在量子力学中,能量相当于算符而在波动光学中,它对应为应用光学哈密顿量,可以写出相应的薛定谔方程:????即? ? (1.1-12)Р应用式(1.1-11), 式(1.1-12)变为? ? (1.1-13)??式中: Ψ为波函数。式(1.1-13)与标量波动方程式? 比较,能够看出其中λ0是真空中的波长。这样我们就由几何光学过渡到波动?光学。
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