能用根式求解的方程,其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”.在这一工作中,他实际上引进了“域”(field)这一重要的近世代数概念,虽然他没有这样来称呼.Р阿贝尔(N.H.Abel,1802—1829)于1802年出生于挪威的芬德,是一个乡村牧师的儿子。当他在克里斯蒂大学当学生时,他认为他已经发现了如何用代数方法解一般五次方程,但是,不久自己纠正了这种想法,1824年发表的小册子中讲到此事。由于证明了用根式解一般五次方程的不可能性,阿贝尔得到一笔不大的报酬,他被允许到德国、意大利、Р法国去旅行。在这次旅行中,他在数学的多种领域中写了许多的论文,例如:关于无穷级数的收敛性,关于所谓阿贝尔积分和关于椭圆函数等论文。Р阿贝尔Р阿贝尔在椭圆函数方面的研究引起了与雅科比之间的令人兴奋的友好竞赛。在椭圆函数方面曾做倡导工作的老勒让德对阿贝尔的发现大为夸奖。阿贝尔幸运地在新创刊的《纯数学和应用数学杂志》上获得发表论文的阵地。事实上,该杂志第一卷(1826)包括五篇以上阿贝尔的论文,并且在第二卷(1827)中发表了阿贝尔的使双周期函数理论得以诞生的著作。Р每一个学数学分析的学生都遇到过阿贝尔积分方程和关于导出阿贝尔函数的代数函数的积分的和的阿贝尔定理。在无穷级数著作中,有阿贝尔的收敛性检验法和关于幂级数的阿贝尔定理。在抽象代数中,交换群现在被称做阿贝尔群。Р8.1.2 伽罗瓦与置换群Р阿贝尔关于代数方程的工作只是证明对于一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的,但并不妨碍人们去求一些特殊的代数方程,比如阿贝尔方程的根式解.在阿贝尔的工作之后,数学家所面临的一个问题就是:什么样的特殊方程能够用根式来求解?这个问题稍后被一位同样年青的法国数学家伽罗瓦解决.Р伽罗瓦在1829—1831年间完成的几篇论文中,建立了判别方程根式可解的充分必要条件,从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决.
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