离散数学 第5章 代数系统(学生用)教学教材

离散数学Р3Р本章讨论的数学结构就是由集合上定义若干运算而组成的系统——代数系统。?在计算机科学中,研究机器可计算性语言、算法计算的复杂性、刻划抽象的数据结构等等,都需要这现代代数系统知识。Р2018/8/11Р离散数学Р4Р代数结构的知识体系Р半群与群Р环与域Р格与布尔代数Р分类Р成分:集合及运算?公理:运算性质Р代数系统的构成Р代数系统的?同态与同构Р代数系统间的关系Р映射Р子代数Р积代数Р商代数Р等价关系Р笛卡儿积Р子集Р新代数系统Р同种的Р同类型的Р产生Р§5.1 代数系统的引入Р先引进在一个集合A上的运算概念。Р2018/8/11Р离散数学Р6Р一元运算?例1:将实数集合R上的每一个数a ≠ 0映射成它的倒数。?例2:求一个复数的共轭复数(复数集合C上的一元运算)。?二元运算?例3:在集合R上,对任意两个数所进行的普通”+”和”×”。?例4: f:N×N→N,f(<x,y>)=x +y? 是自然数集合N上的二元运算。?以上运算的共同特征:运算结果都是在原来的集合R或N中。Р2018/8/11Р离散数学Р7Р具有这种特征的运算是封闭的,简称闭运算。相反的,没有这种特征的运算就是不封闭的。?例5:f:N×N→N,f(<x,y>)=x - y? N对减法不封闭。?例6:自动售货机系统<{一元硬币,二元硬币},*>Р 不封闭?思考:例5例6中的运算封闭吗?Р2018/8/11Р离散数学Р8Р*Р一元硬币Р二元硬币Р一元硬币Р矿泉水Р可口可乐Р二元硬币Р可口可乐Р酷儿Р例:以下哪些运算是封闭的??(1) 自然数集合N上的减法运算。?(2) 整数集合I上的除法运算。?(3) 设A={1,2,3,…,10},二元运算x*y=质数p的个数,使得x ≤p≤y。Р2018/8/11Р离散数学Р10Р不封闭Р不封闭Р不封闭,当x=y=4时,x与y之间的质数个数为0,?而0不属于A集合。