第四章第二节 方差 概率论课件[精]

第四章第二节? 方差Р上一讲我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.Р但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.Р例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图:Р乙仪器测量结果Р甲仪器测量结果Р较好Р因为乙仪器的测量结果集中在均值附近Р又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图:Р甲炮射击结果Р乙炮射击结果Р乙较好Р因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.Р中心Р中心Р为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量随机变量取值在其中心的程度.Р这个数字特征就是我们要介绍的方差。Р若X的取值比较分散,则方差较大.Р若方差D(X)=0, 则r.v. X 以概率1取常数。Р方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度.它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性Р若X的取值比较集中,则方差较小;РD(X)=E[X-E(X)]2РX为离散型,?P{X=xk}=pkР由定义知,方差是随机变量X的函数?g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.РX为连续型随机变量,?f(x)为其密度。Р二、计算方差的一个简化公式РD(X)=E(X2)-[E(X)]2Р展开Р证:D(X)=E[X-E(X)]2Р=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}Р=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2Р=E(X2)-[E(X)]2Р利用期望?的性质Р请自己用此公式计算常见分布的方差.Р例1 设r.v. X服从几何分布,概率函数为РP(X=k)=p(1-p)k-1, k=1, 2, …, nР其中0<p<1, 求 D(X).Р解:Р记 q=1-pР求和与求导?交换次序Р无穷递缩等比?级数求和公式