函数的运算简化。Р解对两边同时作立方运算得Р将上式的指数函数用三角函数表示,并展开两边得Р根据复数的运算规则,两复数相等必是实部和虚部分别相等,?故有Р例2 三角函数Р试变换为三角函数和差的形式。Р再将上式右边的指数用三角函数表示得Р解将三角函数用指数表示得Р例1 导出正弦和余弦函数的三倍角公式。Р欧拉公式实质是揭示三角函数和指数函数的关系,也说明两种函数有相同的运算规则。由此想到,可依照欧拉公式定义一套广义的三角函数,叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数的定义是Р此式与三角函数的基本公式Р实际上,若以 jx 代替定义式中的 x 即得Р1.1.4 双曲函数Р由双曲函数的定义式知Р相似,Р还可以证明Р三角函数,也可视为双曲函数的特例Р§1.2 极限Р1.2.1 直观的极限概念和无穷小量Р极限是重要的基本概念。由简单物理过程,得到某些直观印象。Р考虑一个交流电路和波动中常用的函数Р在x=0时,分子和分母都是零,这分式没有直观意义了。但可以研究Рx由正值和负值向零无限趋近时,函数的特点。Р作一半径为1的单位圆(图1.2.1),Рx是圆心角,Р,Р因Р所以Р因在Р附近,Р的符号相同,Р得Р或Р将上述不等式除以Р上式说明 y 在 x 趋于 0 的过程中保持不大于 1,但又不小于 cosxР但在x无限趋于零时,cosx无限趋近于1,故y必趋于1,Р记为Р在 x 趋近于零时Рsinx 随之趋于零。在这种情况下x 和 sinxР是绝对值很小的变量,因而上面给出的分式也是有意义的。Р这类变量的特点是:它的绝对值小于任何给定的正数,叫做无穷小量.Р在自变量 x 与某一指定值 a 的差为无穷小量时,函数f(x)与数 A 的差也为无穷小量,则A是在x趋于a时的极限,记为Р无穷小量就是以0为极限的变量Р无穷小量的两个性质:?(1)有限个无穷小量的和是无穷小量;?(2)有界量与无穷小量的积是无穷小量。
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