1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述。从图上不难看出,P1点愈靠近P0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P1点完全和P0点重合的时候,割线P0P1变成切线P0T,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角。 在解析几何中,我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tanα叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A-7a);斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A-7b)。现在我们来研究图A-6中割线P0P1和切线P0T的斜率。设P0和P1的坐标分别为(x0,y0)和(x0+△x,y0+△y),以割线P0P1为斜边作一直角三角形△P0P1M,它的水平边P0M的长度为△x,竖直边MP1的长度为△y,因此这条割线的斜率为如果图A-6中的曲线代表函数y=f(x),则割线P0P1的斜率就等于函数在线P0P1斜率的极限值,即所以导数的几何意义是切线的斜率。§3.导数的运算 在上节里我们只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来。 3.1基本函数的导数公式 (1)y=f(x)=C(常量)(2)y=f(x)=x(3)y=f(x)=x2(4)y=f(x)=x3 上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当y=xn时,等等。利用(A.33)式我们还可以计算其它幂函数的导数(见表A-2)。除了幂函数xn外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式(见表A-2)而不推导,读者可以直接引用。 3.2有关导数运算的几个定理 定理一证:定理二表A-2基本导数公式函数y=f(x)导数y′=f′(x)c(任意常量)0xn(n为任意常量)nxn-1n=1,x1n=2,x22xn=3,x33x2……………………sinxcosxcosx-sinxlnxexex定理三定理四
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