著作有《概率演算》等。在数论方面,他研究了连分数和二次不定式理论,解决了许多难题。在概率论中,他发展了矩法,扩大了大数律和中心极限定理的应用范围。马尔可夫最重要的工作是在1906~1912年间,提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式——马尔可夫链。同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫过程的研究。马尔可夫经多次观察试验发现,一个系统的状态转换过程中第n次转换获得的状态常决定于前一次(第(n-1)次)试验的结果。马尔可夫进行深入研究后指出:对于一个系统,由一个状态转至另一个状态的转换过程中,存在着转移概率,并且这种转移概率可以依据其紧接的前一种状态推算出来,与该系统的原始状态和此次转移前的马尔可夫过程无关。目前,马尔可夫链理论与方法已经被广泛应用于自然科学、工程技术和公用事业中Р第一节马尔可夫过程及其概率分布Р一、马尔可夫过程的概念Р二、马尔可夫过程的概率分布Р三、应用举例Р四、小结Р一、马尔可夫过程的概念Р1. 马尔可夫性(无后效性)Р马尔可夫性或无后效性.Р即: 过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的.Р2. 马尔可夫过程的定义Р具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程.Р用分布函数表述马尔可夫过程Р恰有Р或写成Р并称此过程为马尔可夫过程.Р3. 马尔可夫链的定义Р时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔?可夫链,Р简记为Р研究时间和状态都是离散的随机序列Р二、马尔可夫过程的概率分布Р1. 用分布律描述马尔可夫性Р有Р称条件概率Р说明: 转移概率具有特点Р2. 转移概率Р由转移概率组成的矩阵Р称为马氏链的转移概率矩阵.Р此矩阵的每一行元素之和等于1.Р它是随机矩阵.Р3. 平稳性Р有关时, 称转移概率具有平稳性.Р同时也称此链是齐次的或时齐的.Р称为马氏链的n步转移概率Р一步转移概率Р特别的, 当 k=1 时,Р一步转移概率矩阵Р的状态Р记为P
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