数和为零。 7 ??数之和在所有有限远奇点的留逆时针)(2)(zfidzzf l???)(s Re 2)(??? fidzzf l?顺时针证明: ??在所有各点的留数之和)(20zfi??+ 8 (二)留数的计算 1、按定义将函数 f(z)在奇点 z 0的邻域中展成洛朗级数: Res f(z 0 )= a -1对z=∞点要反号: Res f(∞)= - a -1例如:函数在奇点 z =0 的留数( p46 )。 zezf 1)(?2、可去奇点的留数函数在可去奇点 z 0邻域中的洛朗级数不含负幂项,故 Res f(z 0 )=0 9 3、单极点留数的计算设z 0是f(z ) 的一阶极点.... )()( 0100 1???????zzaazz azf 非零的有限值??????)()( lim )( Res 0 10 0zfzzazf zz因此)( )()(zQ zPzf?)(' )()( )()( lim )( Res 0 0 0 0 0zQ zPzQ zPzzzf zz????特殊情形,P(z)和Q(z)都在 z 0点解析, z 0是 Q(z)的一阶零点, P(z 0 ) ≠0,从而 z 0是f(z)的一阶极点, 则 10 4、m (m?2)阶极点留数的计算设z 0是f(z ) 的m阶极点?????????????)()( )( 0100 1 0zzaazz azz azf m m??非零有限值????? m m zzazfzz)()( lim 0 0 mzz)( 0??????????????????m m m m mzzazza zzaazfzz)()( )()()( 00 101 01 0两边乘, 得到: 为了求 a -1, 对上式求 m- 1 阶导数: ??????????)(! )!1()()( 001 01 1zzmamazfzzdz d m m m
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