2017年福建师范大学地理科学学院653高等数学（自）考研导师圈点必考题汇编

二类曲线积分的计算公式,得12.设曲线(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围城图形的面积为,证明:(1)(2)(3)第7页,共34页【答案】(1)如图所示由题设有从而令则于是(2)对题(Ⅰ)中的Ⅰ(n)表达式,令,则有解法一:将①式作如下变形解法二:将①式作如下变形②将①②两式相加得第8页,共34页由连续函数定积分的比较性质可得故有(3)由即③式,有为求此级数的和,考察则有取因此第9页,共34页2017年福建师范大学地理科学学院653高等数学(自)考研导师圈点必考题汇编(二)说明:①本资料为VIP学员内部使用,整理汇编了历届导师圈点的重点试题及常考试题。——————————————————————————————————————————一、计算题1.求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。【答案】设M(x,y)为曲线上一点,距离,构造拉格朗日函数计算得当x>0,y>0时,由式(9-3)、(9-4)得得y=x或3xy=-(x+y)(由于x>0,y>0,舍去).将y=x代入(9-5),化简得,即计算得x=y=1,即(1,1)为唯一可能的极值点.当时,(1,1)到远点的距离为,再考虑边界点,即(0,1),(1,0),它们到远点的距离都是1,故最小值为1,最大值为.2.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:【答案】由于第10页,共34页故于是,当p为奇数时,有当p为偶数时,有因此,对任意给定的正数取正整数。当n>N时,对任何正整数p,都有根据柯西审敛原理知,级数收敛.(2)当n是3的倍数时,如果取p=3n,则必有于是对不论N为何正整数,当n>N并n是3倍的时候,且当p=3n时,就有根据柯西审敛原理知,级数发散.(3)由此可知,对任意给定的正数ε,取正整数,当n>N时,对一切正整数p,都有按柯西审敛原理,该级数收敛。(4)本题与(2)类同,因故对不论n取什么正整数,取p=n时,就有