实变函数与泛函分析基础第二版(程其襄)+课后答案

E x, E?[a, b]. E x= [a, x]∩E, a≤x≤b, f(x) =m ?E x [a, b] △x >0 |f(x+△x)?f(x)|=|m ?E x+△x?m ?E x| ≤|m ?(E x+△?E)| ≤m ?(x, x+△x] =△x. △x→0 f(x+△x)→f(x), f(x) △x >0,△x→0 f(x?△x)→f(x), f(x) [a, b] f(a) =m ?E a=m ?(E∩{a}) = 0 f(b) =m ?(E∩[a, b]) =m ?E. c,c < m ?E, x 0∈[a, b] f(x 0) =c. m ?E x=m ?([a, x 0]∩E) =c. E 1=E∩[a, x 0]?E. m ?E 1=c. 4. S 1, S 2,· · ·, S n , E i?S i, i= 1,2.· · ·, n, m ?(E 1∪E 2∪· · · ∪E n) =m ?E 1+m ?E 2+· · ·+m ?E n. S 1, S 2,· · ·, S n §2 3 1, T, m ?(T∩ nS i=1 S i) = nP i=1 m ?(T∩S i). T= nS i=1 E i, T∩S i= ( nS j=1 E j)∩S i= E i, T∩( nS i=1 S i) = nS i=1 E i, m ?( nS i=1 E i) =m ?(T∩( nS i=1 S i)) = nP i=1 m ?(T∩S i) = nP i=1 m ?E i. 5. m ?E= 0, E T,T= (E∩T)∪(T∩?E), m ?T≤m ?(E∩T) +m ?(T∩?E). E∩T?E, m ?(E∩T)≤m ?E= 0.T∩?E?T, m ?(T∩?E)≤m ?T, m ?(E∩T) +m ?(T∩?E)≤m ?T. 1