义。掌握巴拿赫空间的定义及一些常见的例子。了解有限维线性赋空间的主要性质。度量空间1、距离定义:1)d(x,y)≥0当x=y时,d(x,y)=02)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)三点不等式等价定义,距离公理:1)d(x,y)≥0非负性;2)d(x,y)=d(x,y)对称性;3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)三点不等式R中常见的三种距离:d(x,y)=[(ξi-ηi)²]d(x,y)=│ξi-ηi│d(x,y)=max│ξi-ηi│2、可分性:定义:X是度量空间,N和M是X的两个子集,如果N⊂M,N⊂M,称集M在集N中稠密,当N=X时,称M为X的一个稠密子集,如果X有一个可列的稠密子集,则称X为可分空间。R是可分空间:坐标为有理点的全体是可列稠密子集。离散距离空间X可分充要条件X是可列集。事实上X中无稠密真子集,X中唯一的稠密只有X本身自己。反例,l为不可分,按d(x,y)=sup│ξi-ηi│3、连续映照定义:设X=(X,d)Y=(Y,d)是两个度量空间,T是X到Y中的映照,xοєX,如果对任意的ε>0,存在δ>0使d(x,xο)<δ时,d(Tx,Txο)<ε则称T在xο连续用邻域描述:对Txο的ε-邻域N,存在xο的某个δ—邻域Nο,使TNοNT-1:设T是度量空间X=(X,d)到Y=(Y,d)中映照,T在xο连续⇔当xn→xο时,有Txn→Txο定义2:T在X的每一点连续,则称T是X上的连续映照,称集合{x∣x∈X,Tx⊂M}MсY为集合M在映照T下的像,简记为TMT-2:度量空间X到Y中的映照T是X上连续映照⇔Y中任意开集M的原像TM是X中的开集(利用T(CM)=C(TM),可将定理中开集改成闭集)4、柯西点列定义:X=(X,d)是度量空间,{xn}是X中的点列,对ε>0 N(ε),当n,m>N 时,必有d(xn,xm)<ε则称{xn}是X中的柯西
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