的数,对任意,令,显然T是到中的线性算子。②恒等算子设是线性空间,对任意,令,则。恒等算子记为或③零算子设是线性空间,对任意,令,则。零算子记为④微分算子设为区间上多项式全体,对每个,定义由求导运算的线性性质,可知T是到中的线性算子注:如果任取,对任意的,定义则是上的线性泛函⑤积分算子对每一个,定义由积分运算的线性性质,可知T是到中的线性算子注:若令,则是上的线性泛函。⑥乘法算子对每一个,定义易知T是线性算子。注:1.线性算子与有限维空间中的方阵相对应。2.线性泛函与有限维空间中的向量(数组)相对应1.3有界线性算子定义:设和是两个赋范线性空间,T是的线性子空间到中的线性算子,如果存在常数,是对所有的,有(3)则称T是到中的有界线性算子。1.4算子的范数定义:T为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子,称为算子T在上的范数。注:1.2.3.2..连续映射定义2.1设X=(X,d),是两个度量空间,T是X到Y的一个映射。如果对任何,存在当时,有,则称T在连续。又若T在X中每一点都有连续,则称T是X上的连续映射。若对任何,存在,只要,且,就有成立,则称T在上一致连续。定理2.1设,是度量空间,,,则下列各命题等价。(1)T在连续;(2)对于X中的任意点列{xn},若,则。定理2.2设,是度量空间,。则T是连续映射的充分必要条件是,对Y中的任一开集,其原象是开集。3.线性算子和线性泛函的定理定理1:设T为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子,则T为有界算子T是上的连续算子。证明:若T有界,由(3)式,当时,因为所以,即,因此T连续。反之,若T在上连续,但T无界,这是在中必有一列向量,使,但。令,n=1,2,…,则,所以,由T的连续性,得到,但由于T是线性算子,又可以得到对一切正整数n,有这与矛盾。所以T是有界算子。定理2.设是赋范线性空间,是上线性泛函,那么是上连续泛函
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