AF′的长最大, ∵正方形ABCD的边长为1, ∴OA=OD=OC=OB=22 , ∵OG=2OD, ∴OG′=OG=2 , ∴OF′=2, ∴AF′=AO+OF′=22 +2,………………………………8分∵∠COE′=45°, ∴此时α=315°.………………………………….9分 28.解:(1)由已知得解得. 所以,抛物线的解析式为y=x 2﹣ x+3.……………………………………….2分(2)∵A、B关于对称轴对称,如图1,连接BC, ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P,此时PA+PC=BC,…………………………3分∴四边形PAOC的周长最小值为:OC+OA+BC, ∵A(1,0)、B(4,0)、C(0,3), ∴OA=1,OC=3,BC= =5,………………………4分∴OC+OA+BC=1+3+5=9;……………………5分∴在抛物线的对称轴上存在点P,使得四边形PAOC的周长最小,四边形PAOC周长的最小值为9. (3)∵B(4,0)、C(0,3), ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3, ①当∠BQM=90°时,如图2,设M(a,b), ∵∠CMQ>90°, ∴只能CM=MQ=b, ∵MQ∥y轴, ∴△MQB∽△COB, ∴= ,即=,解得b= ,代入y=﹣x+3得, =﹣a+3,解得a=, ∴M(, );……………………7分②当∠QMB=90°时,如图3, ∵∠CMQ=90°, ∴只能CM=MQ, 设CM=MQ=m, ∴BM=5﹣m, ∵∠BMQ=∠COB=90°,∠MBQ=∠OBC, ∴△BMQ∽△BOC, ∴= ,解得m= , 作MN∥OB, ∴= = ,即= = , ∴MN= ,CN=, ∴ON==3﹣= , ∴M( , ),……………………9分综上,在线段BC上存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形,点 M的坐标为(, )或( , ).
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