(x —1)2\rf (x),, 即可 ， 令 g(x)= f(x) (x) - ， 然后在利用导数在函数最值中的应用 ， 即可证明\rX X\rg(x),, g(I) = 0, 由此即 可证 明不等式 成立．\rax- 1\r【详解】 解： （1)函数的定义域是（0,七t:i),/(x)＝—了一，\rX\r平 0时， f'(x)< 0, :. f (x)在 （0，知）上单调递减 ；\r当a>O时， XE（峙］，/(x)<O,\r:. f(x)在（吁］上单调递减；\rXE(：，叫'.((x)> 0,\r:. f(x)在上单 调递增\r(2) 证明： 因为函数 f(x)的图象与 X轴相切 ， 设切点为 (x。,0)'.\r， 解得 a=L\r1\r:. f(x) = lnx—l+一 ，\rX\r又当 m E (0,1],x E (0,+oo)时 ， 恒成立 ，\r(x - 1)2\r令 g(x)= f (x)- ~ = ln x + 1- x,\rX\r1- x\r由 g'(x)＝-— =0, 得x=l,\rX\r:. g(l)是 g(x)的最大值 ，\r:. g(x),, g(l)::::: 0,\r(x - l 2 2\r) (x - l)\r:. f(x)殁1J 成立\rX mx\r【点睛 】 本题考查导数在研究函数中的应用 、 导数在不 等式中的应用 ， 屈千中档题
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