(ax)????(b x)x2dx=∫+∞?∞1????(b x)x2dx?∫+∞?∞1????(ax)x2dx=b∫+∞?∞???2tt2dt?a∫+∞?∞???2ss2ds= (b?a)π.注意,在上面的分解中,分子上的1是必不可少的,如果做下面这种分解:I=∫+∞?∞???(ax)x2dx?∫+∞?∞???(b x)x2dx,右边的两个积分全都是发散的,所以没有意义。?解答二:设p是一个正实数,我们先来考虑如下积分:I(p, a) =∫+∞?∞???(ax)x2+p2dx,利用第三类可以利用留数计算的定积分的公式,不难算出:I(p, a) =∫+∞?∞ei axx2+p2dx= 2π i???(ei axx2+p2, p i) =πpe?ap.?于是,所求积分即为I=???p→0(I(p, a)?I(p, b)) =???p→0πe?ap?e?b pp=π(b?a).?注记:这种解答利用的是所谓含参积分技术。这种技术也是计算各种积分的有力工具,其威力丝毫不逊色于复变函数方法。 以本题为例,若设I(a, b) =∫+∞?∞???(ax)????(b x)x2dx,那么不难证明:??aI(a, b) =?π,??bI(a, b) =π,所以I(a, b)只能是如下形式:I(a, b) =π(b?a) +c,其中c是待定常数。又因为I(a, a) = 0,所以c= 0。 再比如,通过引入参数t,可以把原积分改写为如下的累次积分:I=∫+∞?∞dxx∫ba???t xdt,交换积分次序可得:I=∫badt∫+∞?∞???t xxdx=∫baπ dt=π(b?a). 灵活运用含参积分和复变函数这两种技术可以帮助我们简洁、有效地计算出各种重要的积分。据说,??????????????就是因为把含参积分学得很好,能够算出量子场论中遇到的各种难算的积分,所以才得了?????奖。??
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