零点的个数不确定而引起的讨论。例.已知函数f(x)=1nx,g(x)=(a为常数),若直线与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切,且与y=f(x)的图象相切于定点P(1,f(1)).(1)求直线的方程及a的值;(2)当k∈R时,讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数.解:(1)∵f′(x)=,∴f(1)=1∴k1=1,又切点为P(1,f(1),即(1,0)∴l的解析式为y=x-1,?y=x-1∵l与y=g(x)相切,由y=,消去y得x2-2x+2a+2=0,∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=-(2)令h(x)=f(x2+1)-g(x)=1n(x2+1)∵h′(x)=-x=-,则为增函数,-1<x<0或x>1时,故x=±1时,h(x)取极大值1n2,x=0时,h(x)取极小值。因此当?k∈(1n2,+∞),原方程一解;当k=1n2时,原方程有两解;当<k<1n2时,原方程有四解;当k=时,原方程有三解;当k<时,原方程有两解5.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论例1:(此为不能分离出参数a的例题)已知().当?时,若对有恒成立,求实数的取值范围.解:因为f(x)=x3-6ax2+9a2x,x3-6ax2+9a2x-4≤0所以f'(x)=3x2-12ax+9a2=(3x-3a)(x-3a),在上>0是增函数,在上<0是减函数,在上>0是增函数。所以函数在x=a时,,所以函数在x=a时,因对有恒成立,求实数的取值范围.极值点指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下:∵a>0①当两个极值点都在指定区间内时。即0<3a≤3,也就是0<a<1时,(当a>0时为什么分为0<a<3,与a≥3两类。要讲清楚)在上>0是增函数,在上<0是减函数,在上>0是增函数。所以函数在x=a时,,所以函数在x=a时,有恒成立,等价于解得即0<a≤1
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