数(★)设:对于有理函数,当的次数小于的次数时,有理函数是真分式;当的次数大于的次数时,有理函数是假分式○有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★)⑴将有理函数的分母分拆成两个没有公因式的多项式的乘积:其中一个多项式可以表示为一次因式;而另一个多项式可以表示为二次质因式,();即:一般地:,则参数则参数⑵则设有理函数的分拆和式为:其中参数由待定系数法(比较法)求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求(构造法)【求解示例】第五节积分表的使用(不作要求)第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质○定积分的定义(★)(称为被积函数,称为被积表达式,则称为积分变量,称为积分下限,称为积分上限,称为积分区间)○定积分的性质(★★★)⑴⑵⑶⑷(线性性质)⑸(积分区间的可加性)⑹若函数在积分区间上满足,则;(推论一)若函数、函数在积分区间上满足,则;(推论二)○积分中值定理(不作要求)第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式(★★★)(定理三)若果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则○变限积分的导数公式(★★★)(上上导―下下导)【题型示例】求【求解示例】第三节定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法(★★★)⑴(第一换元法)【题型示例】求【求解示例】⑵(第二换元法)设函数,函数满足:a.,使得;b.在区间或上,连续则:【题型示例】求【求解示例】⑶(分部积分法)○偶倍奇零(★★)设,则有以下结论成立:⑴若,则⑵若,则第四节定积分在几何上的应用(暂时不作要求)第五节定积分在物理上的应用(暂时不作要求)第六节反常积分(不作要求)如:不定积分公式的证明。很多同学上课时无法证明,那么在学期结束时,我给出这样一种证明方法以说明问题:如此,不定积分公式也就很容易证明了,希望大家仔细揣摩,认真理解。最后,限于编者水平的限制,资料中错误和疏漏在所难免,希望同学们积极指出,以便互相学习改进。
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