象的事物在一起, 低维几何的处境有些尴尬。从很多方面来看, 我们开始时讨论的维数, 或我们祖先开始时的维数, 仍留下某些未解之谜。维数为 2,3和4 的对象被我们称为“低”维的.例如 Thurston 在三维几何的工作,目标就是能够给出一个三维流形上的几何分类, 这比二维理论要深刻得多. Thurston 纲领还远远没有完成, 完成这个纲领当然将是一个重要的挑战。在三维中另外一个引人注目的事件是 Vaughan-Jones 那些思想本质上来源于物理的工作。这给了我们更多的关于三维的信息,并且它们几乎完全不在 Thurston 纲领包含的信息之内。如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战, 但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥, 因此, 整个低维的领域都与物理有关, 但是其中实在有太多让人琢磨不透的东西。最后,我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”。这些对偶,泛泛地来讲,产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现。一个简单的例子是经典力学中的位置和动量的对偶。这样由对偶空间代替了原空间, 并且在线性理论中, 对偶就是 Fourie r 变换.但是在非线性理论中,如何来代替 Fourier 变换是巨大的挑战之一。数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关.物理学家看起来能够在他们的弦理论和 M 一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点。他们构造了一个又一个令人叹为观止的对偶实例,在某种广义的意义下, 它们是 Fourier 变换的无穷维非线性体现, 并且看起来它们能解决问题, 然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一。四、参考文献郑崇友, 几何学引论[ 专著],第2版, 北京, 高等教育出版社, 2005 方延明, 数学文化[ 专著], 清华大学出版社, 2009 袁小明, 初等数学简史[ 专著], 人民教育出版社, 1990
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