这些内容的一部分已进入文科各系的教学内容。与此相反,数学发展的最近阶段,即现代阶段的思想和结果基本上还只是为在数学、力学、物理学及一些新技术领域中工作的科学工作者所使用。现在在转向叙述数学发展最新阶段的一把特征时,我们只试图简略地给出数学的这些新分支的最一般的特征。数学发展的现代阶段的开端,以其所有基础部门——代数、几何、分析——中的深刻变化为特征。还在19世纪上半叶,罗巴切夫斯基和波尔约就已经建立了非欧几何学,它的思想是别生开面的和出乎意外的,正是从这个时候起,开始了几何学的原则上的新发展,改变了几何学是什么的本来理解。它的研究对象与使用范围迅速扩大。1854年著名的德国数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最重要的步骤。他提出了几何学家能够研究的“空间”的种类有无限多的一般思想,并指出这种空间的可能的现实意义。如果说,以前几何学之研究物质世界的空间形式,那么现在,现实世界的某些其他形式,由于它们与空间形式类似,也成了几何学的研究对象,可采用几何学的各种方法对它们进行已经。因此,“空间”这一术语在数学中获得了系的更广泛的,也是更专门的意义,同时,几何学方法本身也大大的丰富和多样化了。欧几里德几何本身也发生了很大的变化。现在可以将复杂得多的图形,乃至任意点集的性质。同样地出现了研究图形本身的崭新的方法,在这些研究的基础上,产生了各种新的“空间”和它们的“几何”:罗巴切夫斯基空间,射影空间,各种不同维数的欧几里德空间、黎曼空间、拓扑空间等,所有这些概念都找到了自己的应用。在19世纪,代数也出现了质的变化。以往的代数是关于数字的算术运算的学说。这种算术运算是脱离了给定的具体数字在一般形态上形式地加以考察的。也就是说,在代数中,凡量都以字母来表示,按照一定的法则对这些字母进行运算。现在代数在保持这种基础的同时,有把它大大地推广了。现代代数中还考察了比数更加普遍得多的性质的
全文预览
