有界的。Р1,存在NoN,使得当m,nNo时，就有РxmРxn1РРР于是对于nNo,我们有РР若记РxnРxnXNo1XNo1Р1xNo1РРРРР则有Рmaxx1,x2,РK,nNР定理5（收敛原理）：序列xnР当m,nNo时，就有Р换句话说:Р序列РXNo1Р收敛的必要充分条件是：对任意РxmxnРXn收敛序列Xn是柯西序列Р0,存在NoN,使得РРРРРРРРРРРРРРРРРРРР1.3无穷大Р定义：(1)设Xn是实数序列，如果对任意正实数E,存在自然数N,使得当nN时就Р有РXnEР那我们就说实数序列xn发散于，记为РlimxnР(2)设yn是实数序列，如果对任意正实数E,存在自然数N,使得当nN时就有РynEР那我们就说实数序列yn发散于，记为РlimynР(3)设Zn是实数序列，如果序列Zn发散于，即limZn,那么我们就称乙Р为无穷大序列，记为РlimznР注记：(1)若集合ER无上界，则记РsupEР(2)若集合FR无下界，则记РsupFР定理1：单调序列必定有(有穷的或无穷的)极限，具体而言是：Р(1)递增序列xn有极限，且РlimxnsupxnР(2)递减序列yn有极限，且Рlim%infynР定理2：设｛和yn是实数序列，满足条件Рxnyn,nNР则有:РР(1)如果limxn,那么limynР(2)如果limyn,那么lim%РР定理3：如果limXnР（或，或），那么对于xn的任意子序列Р也有РРРlimXnk（或，或）Р定理4：设xn0,nN,则Р、1Рxn是无穷大序列一是无否小序列РXnР扩充的实数系：RR{,}Р定理5:实数序列xn至多只能有一个极限。Р扩充的实数系R中的运算：Р（1）如果xR,那么Рx（）（）xР(2)如果xR,x0,那么Р（3）如果xR,那么Р⑷（）（），（）（）Р()()，()()Р()(),()()()()()()
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