于被积函数假设是连续的,不但这些定积分存在,同时其相应不定积分也存在,并且在两情形都可以用基本公式. Р2 定积分的分部积分法在不定积分部分曾经讨论过公式Р这里假设以x为自变量的函数u,v以及其导函数u’,v’都是在考虑区间[a,b]里连续的. 则我们有Р Р定积分中值定理Р微分中值公式Р说明,函数值的差可以通过其导数值来表达和估算. 如果从微分运算的逆运算来认识积分运算,那么就有相应的积分的中值公式:记F’(x)=f(x),即把F(x)看作是可积函数f(x)的原函数,则上述公式化为Р这一类公式称之为积分中值公式,它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行表达和估算. Р上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察:设f(x)是[a,b]上的正值连续函数,则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等,而矩形的高正是f(x) 在[a,b]上的积分平均值:Р1 定积分第一中值公式设,且函数值不变号(即对一切).Р若,且记,,则存在:,使得Р Р(2) 若,则存在,使得Р2 定积分第二中值公式Р引理(Abel) 设有两组数记,则Р推论若有,且,则有Р定理(型) 设.Р若f(x)是[a,b]上非负递减函数,则存在,使得Р Р(2)若f(x)是[a,b]上非负递增函数,则存在,使得Р3 定积分第三中值公式Р定理(Weierstrassz型) 设f(x)在[a,b]上是单调函数,,则存在,使得Р函数可积分的勒贝格定理Р定义设A是实数集合,若,对任意,存在至多可数的系列开区间,Р它是A的一个开覆盖,并且,则称A为零测度集或者零测集.Р定理零测集性质如下:Р至多可数个零测集的并集是零测集;Р设A为零测集,若,那么B也是零测集.Р定理(Lebesgue定理) 若函数f在[a,b]区间上有界,则f在[a,b]区间上Riemann可积的充分必要条件是f在[a,b]区间不连续点的集合Р为零测集.
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