=．Р例42 抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比．Р解 抛物线与圆的交点分别为与，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分，，记它们的面积分别为，，则有Р图5－1РР图5－2Р===，=，于是РР==．Р例43 求心形线与圆所围公共部分的面积．Р分析 心形线与圆的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．Р解 求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为Р图5－3Р==．Р例44 求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．Р分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．Р解 设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为．又切线与直线，和曲线所围成的平面图形的面积为Р图5－4Р==．Р由于Р==，Р令，解得驻点．当时，而当时．故当时，取得极小值．由于驻点唯一．故当时，取得最小值．此时切线方程为：Р．Р例45 求圆域（其中）绕轴旋转而成的立体的体积．Р解 如图5－5所示，选取为积分变量，得上半圆周的方程为Р，Р下半圆周的方程为Р．Р图5－5РР则体积元素为Р==．于是所求旋转体的体积为Р====．Р注 可考虑选取为积分变量，请读者自行完成．Р例46 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形．Р（1）求的面积；Р图5－6Р计算，如图5－6所示．Р解 （1）设切点横坐标为，则曲线在点处的切线方程是Р．Р由该切线过原点知，从而，所以该切线的方程是．从而的面积Р．Р例47 有一立体以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．Р解 选为积分变量且．过轴上坐标为的点作垂直于轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为，得等边三角形的面积为Р图5－7Р==．Р于是所求体积为 ===
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