方程可以解得,,,2.观测系统时间变换分析对于同样系统的观测,当选取的观测时间起点和观测时间单位不同时,得到同一物理系统的两种不同时间观测结果。不失一般性,我们将两种观测之间的时间变换关系表示为,其中表示两种观测系统的时间单位数量,反映了两个观测系统时间起点上的差异,而反映了两个观测系统观测时间单位的比例,线性关系是由时间的均匀性确定的。定理一:对于参数完全相同的生态系统,其系统常数与观测时间单位长度存在反比例关系,即。证明:在volterra模型中:把,代入得:(8)构建对于上述生态过程的两个观测系统,其时间轴变换关系为,为常数。(8)即为(9)对(9)进行推导(10)所以,,为常数,结合,得到,这就证明了在参数完全相同的生态系统,其系统常数与观测时间间隔参数存在反比例关系,即。在volterra模型中,对的推导与上面相同,结论也相同。3.求解在确定的情况下,我们只要得到系统常数就可以确定生态系统参数。对于一个生态系统,当确定时,由方程可知相轨线是完全确定的。对于观测数据中的相邻两组数据和,其演变过程遵循系统方程即选择作为起始点根据系统方程演化到。当值不同时,从演化到的过程不同。下面我们在定理一中证明值和演化时间存在反比关系。我们首先用DATA1中的4组数据确定表3的值0.14471560254457-0.960-0.868317924024250.7731,模型的建立与求解龙格-库塔方法求解微分方程对于Volterra模型,没有显式的符号解,因此我们采用四阶龙格-库塔方法求解常微分方程组的数值解。求解方法介绍如下:volterra模型可写为(11)令下标表示步数,则解此方程组的欧拉方法为(12)引进向量记号,,,则式(11)与式(12)可分别写成此时,常用的四阶龙格-库塔方法取形式采用龙格-库塔方法,我们可以求出微分方程的数值解,数值解十分密集,在图2上表现为连续曲线。
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