.已知,方阵满足,则.4.设三阶矩阵,如果与线性相关,则.5.设是非齐线性方程的三个解向量,如果是该方程的解,则满足条件.6.若三阶方阵满足,则有一个特征值为二、单项选择题(每小题3分,共18分)1.设均为阶方阵,则必有【C】A.;B.;C.;D..2.以下结论正确的是【D】A.若,则;B.若,则或; C.若,则;D.若为对称阵,则为对称阵.3.设均为阶方阵,,则必有【A】A.等价于;B.与有相同的解空间;C.相似于;D.合同于.4.设为阶方阵,,则必有【C】A.;B.;C.;D.5.齐次线性方阵有非零解的充要条件是【B】A.的行向量组线性相关;B.的列向量组线性相关;C.的行向量组线性无关;D.的列向量组线性无关.6.设方阵有相同的特征值,则必有【A】A.;B.;C.相似于;D.三、计算题(一)(每小题8分,共24分)1.计算行列式的值.解:2.已知向量组.说明线性无关。求该向量组的秩及一个最大无关组。解:(1)因对应分量不成比例。(2)因此秩为3,最大无关组为或其它。3.设矩阵,矩阵满足,求。解:,且可逆,故四、计算题(二)(每小题12分,共24分)1.当取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷解?并在有无穷多解时求其通解。解(1)当时,,方程组有唯一解。(2)当时,,方程组无解。(3)当时,,方程组有无穷解。此时通解为2.已知三阶方阵有三个线性无关的特征向量,是的二重特征根,求可逆方阵使为对角阵。解:A有三个线性无关的特征向量,且是的二重特征根,则必有而,故,另一特征根为所对应的特征向量为;所对应的特征向量为记,则为对角阵。五、综合题(每小题8分,共16分)1.设均为阶方阵,满足,证明可逆,且。证明:故可逆。故2.设为阶方阵,是维列向量,且,如果,证明向量组线性无关。证明:设满足①由已知②①并将②代入得:③③并将②代入得:且,故将代入③得将,代入①得故向量组线性无关
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